Гармонические колебания примеры. Колебание и волны. Гармоническое колебательное движение. Кинематика колебательного движения. Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Математический маятник

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.

Числа степеней свободы : это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε 0 > (энергия поступательного движения молекул): В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул : для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы где i - сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба¬тельных степеней свободы молекулы:i =i пост +i вращ +2i колеб В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий N A молекул: (1) Внутренняя энергия для произвольной массы m газа. где М - молярная масса, ν - количество вещества.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде:

Для того чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

где – масса колеблющегося тела.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.

1.2. Сложение колебаний

Неpедки случаи, когда система одновpеменно участвует в двух или нескольких независимых дpуг от дpуга колебаниях. В этих случаях обpазуется сложное колебательное движение, котоpое создается путем наложения (сложения) колебаний дpуг на дpуга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозpеть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому огpаничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов.

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой

Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

где и – смещения; и – амплитуды; и – начальные фазы складываемых колебаний.

Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось , то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.

Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания. В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).

Следовательно,

отсюда: .

Согласно теореме косинусов ,

Начальная фаза результирующего колебания определяется из :

Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение: .

Биения

Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е.

Сложим эти уравнения аналитически:

Преобразуем

Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат , расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей и , соответственно, через и . (рис. 4).

Рассмотрим несколько частных случаев.

1). Начальные фазы колебаний одинаковы

Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей и можно выразить уравнениями:

Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или .

Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат (рис.4).

Уравнения колебания в этом случае имеют вид:

Уравнение траектории точки:

Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна:

3). Начальная разность фаз равна .

Уравнения колебаний имеют вид:

Разделим первое уравнение на , второе – на :

Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки:

Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность . В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу

Фигу́ры Лиссажу́ – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний (рис. 5).

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§1 Кинематика гармонического колебания

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов и в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A . Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω 0 . Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где φ 0 - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0

а в произвольный момент времени

(1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х , и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса

называется гармоническими .

Гармонические колебания являются периодическими , т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Если отрезок [ОД] находится з низшем положении по рисунку, т.е. точка Д совпадает с точкой Р , то его проекция на ось х равна нулю. Назовем такое положение отрезка [ОД] положением равновесия. Тогда можно сказать, что величина х описывает смещение колеблющейся точки из положения равновесия. Максимальное смещение от положения равновесия называется амплитудой колебания

Величина

которая стоит под знаком косинуса называется фазой. Фаза определяет смещение от положения равновесия в произвольный момент времени t . Фаза в начальный момент времени t = 0 , равная φ 0 называется начальной фазой.

Т

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Через промежуток времени, равный периоду Т , т.е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т , движение повторяется, и косинус принимает прежнее значение

т.к. период косинуса равен 2π , то, следовательно, ω 0 Т = 2π

таким образом, ω 0 - это число колебаний тела за 2π секунд. ω 0 - циклическая или круговая частота .

рисунок гармонического колебания

А - амплитуда, Т - период, х - смещение, t - время.

Скорость колеблющейся точки найдем, продифференцировав уравне-ние смещения х (t ) по времени

т.е. скорость v отличается по фазе от смещения х на π /2.

Ускорение - первая производная от скорости (вторая производная от смещения) по времени

т.е. ускорение а отличается от смещения по фазе на π.

Построим график х( t ) , у( t ) и а( t ) в одной смете координат (для простоты примем φ 0 = 0 и ω 0 = 1)

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

Меняется во времени по синусоидальному закону:

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t , А — амплитуда , ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ ) — полная фаза колебаний . При этом величины А , ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость , для электрических колебаний — напряжение и сила тока .

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии W p в кинетическую W k и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней-шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво-начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π ). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости , она равна:

где v m — максимальная скорость тела (в положении равновесия), х m = А — амплитуда.

Из-за наличия трения и сопротивления среды свободные колебания затухают: их энергия и амплитуда с течением времени уменьшаются. Поэтому на практике чаще используют не свободные, а вынужденные колебания.

«Физика - 11 класс»

Ускорение - вторая производная координаты по времени.

Мгновенная скорость точки - это производная координаты точки по времени.
Ускорение точки - это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени.
Поэтому уравнение движения маятника можно записать так:

где х" - вторая производная координаты по времени.

При свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания

Из математики: вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком, и никакие другие функции таким свойством не обладают.
Поэтому:
Координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями .

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу.

График зависимости координаты тела от времени представляет собой косинусоиду.

х = x m cos ω 0 t

Тогда уравнение движения, описывающее свободные колебания маятника:

Период и частота гармонических колебаний.

При колебаниях движения тела периодически повторяются.
Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний .

Частота колебаний - это число колебаний в единицу времени.
Если одно колебание совершается за время Т то число колебаний за секунду

В Международной системе единиц (СИ) единица частоты называется герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2π с равно:

Величина ω 0 - это циклическая (или круговая) частота колебаний.
Через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Часто для краткости циклическую частоту называют просто частотой.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы.

1. для пружинного маятника

Собственная частота колебаний пружинного маятника равна:

Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m.
Жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела, а чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы.

Период колебаний равен:

Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды колебаний.

2. для нитяного маятника

Собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

Период же этих колебаний равен

Период колебаний нитяного маятника при малых углах отклонения не зависит от амплитуды колебаний.

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит.

Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.