Повышенный уровень сложности. Рычаг. Равновесие сил на рычаге Динамика движения материальной точки по окружности. Центростремительная и тангенциальная силы. Плечо и момент силы. Момент инерции. Уравнения вращательного движения точки

Часть динамики, изучающая условия равновесия тел, называ­ется статикой (гр. statos - стоящий).

Равновесием тела называется такое его положение, которое со­храняется без дополнительных воздействий. Опираясь на уравне­ния динамики поступательного и вращательного движений, можно сформулировать следующие условия равновесия твердого тела.

Тело не придет во вращательное движение, если для любой оси сумма моментов сил, действующих на него, равна нулю:

Тело не начнет двигаться поступательно, если сумма сил, дей­ствующих на него, равна нулю:

Равенство (7.8) называется правилом моментов.

Условиями равновесия покоящегося тела являются одновремен­ное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил, дейст­вующих на тело.

Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, что­бы закрепленное на ней тело оставалось в равновесии под действием

В соответствии с правилом моментов для равновесия необхо­димо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси рав­нялась нулю.

Можно показать, что для каждого тела существует единствен­ная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называ­ется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).

Центром тяжести тела (ЦТ) называется точка, относи­тельно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на все частицы тела, равна нулю.

Таким образом, сила тяжести не вызывают вращения тела во­круг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.

Для тела спортсмена часто вводится общий центр тяжести (ОЦТ).

Основные свойства центра тяжести:

если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяже­сти, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;

центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;

в однородном поле тяжести центр тяжести совпадает с цент­ром масс.

Равновесным называется такое положение тела, при кото­рым оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При

устойчивое равновесие (рис. 7.11, а) - при малом отклоне­нии тела от положения равновесия возникает сила, стремящаяся возвратить тело в исходное состояние;

безразличное равновесие (рис. 7.11, б) - при малом отклоне­нии тело остается в положении равновесия;

неустойчивое равновесие (рис. 7.11, в) - при малом отклоне­нии тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение.

Примером безразличного равновесия является равновесие те­ла, закрепленного на оси, проходящей через его центр тяжести. Если ось проходит через другую точку и центр тяжести расположен выше оси, то возможно только неустойчивое равновесие. Равнове­сие будет устойчивым, если центр тяжести расположен ниже оси.

В положении устойчивого равновесия тело обладает минималь­ной потенциальной энергией.

Рассмотрим теперь равновесие тела, опирающегося не на одну точку, как в примере с шаром, а на целую площадку. В этих случаях условие устойчивости следующее: для равновесия необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела.

Нарушение этого условия приводит к невозможности сохране­ния равновесия. Например, цилиндр, представленный на рис. 7.12, а, должен опрокинуться, потому что отвесная линия, проведенная через ЦТ, проходит вне его основания.

Стоящий человек сохраняет равновесие до тех пор, пока отвес­ная линия из ОЦТ находится внутри площадки, ограниченной края­ми его ступней, рис. 7.12, б.

Сидящий на стуле человек держит туловище вертикально, рис. 7.12, в. ОЦТ туловища находится внутри тела (близ позвоночника, примерно на 20 см выше уровня пупка). Отвесная линия, проведен­ная из ОЦТ вниз, проходит через площадь опоры, ограниченную ступнями и ножками стула. В таком положении можно сидеть. Однако, для того чтобы встать, человек должен перенести линию действия силы тяжести внутрь площади, ограниченной ступнями. Для этого необходимо наклонить туловище вперед и одновремен­но пододвинуть ноги назад (встать можно и не меняя положения ног, если наклон вперед осуществить резко).

Простейшие механизмы

На использовании законов статики основано действие простей­ших механизмов, используемых для изменения величины или на­правления силы.

Рычаг - твердое тело чаще в виде стержня, которое может вращаться (поворачиваться) вокруг неподвижной оси.

Пусть ось делит рычаг в отношении L,:L, и на него действуют две параллельные силы F, и F 2 (рис. 7.13). Будем также считать, что силой тяжести, действующей на рычаг, можно пренебречь.

Определим положение оси вращения (О), при котором рычаг будет оставаться в равновесии.

Равновесие рычага наступает при условии, что отношение при­ложенных к его концам параллельных сил обратно отношению плеч

и моменты этих сил противоположны по знаку. Поэтому, прикла­дывая небольшую силу к длинному концу рычага, можно уравно­весить гораздо большую силу, приложенную к короткому концу рычага. В зависимости от взаимного расположения точек прило­жения сил и оси различают рычаги 1-го и 2-го рода (рис. 7.13):

а) Рычаг 1-го рода. Силы расположены по обе стороны от оси. Подобными рычагами являются длинный шест, с помощью кото­ рого поднимают тяжелый камень (рис. 7.14.).

б) Рычаг 2-го рода. Силы расположены по одну сторону от опоры. К данному виду относится, например, тачка (рис. 7.15), при использовании которой усилие рук приложено на «максимальном» расстоянии от оси колеса (максимальное плечо), что позволяет пе­ ревозить большие грузы.

Применение рычага в механизмах дает выигрыш в силе, при этом столько же проигрывается в перемещении. Рычаг не дает вы­игрыша в работе.

Многие суставы работают по принципу рычага второго рода. При этом мышцы, действуют на меньшее плечо рычага, рис. 7.16. Это приводит к проигрышу в силе, и к выигрышу в перемещении и скорости. В результате, при сравнительно малом по протяжен­ности движении мышцы, звено или конечность описывают значительно большую траекторию.

Эта особенность в строении костно-мышечных узлов должна вы­звать дополнительные осложнения в центральном регулировании

Балансир (фр. balancier - коромысло) - двуплечный рычаг, совершающий качатель-ные (колебательные) движения около непод­вижной оси. Применяется в балансирующем маятнике, использующемся в механоте­рапии.

Блок, как и рычаг, относится к простей­шим механизмам, рис. 7.17. Он выполняет­ся в форме диска, свободно вращающегося на оси. По окружности диск имеет желоб для цепи (каната, нити). Используется равенст­во натяжения во всех точках цепи, которая движется без трения.

Неподвижный блок (рис. 7.17, а) не дает выигрыша в силе, но позволяет изменять ее направление. Так, можно поднимать груз вверх, действуя на веревку силой, направ­ленной вниз, что менее утомительно: F - Р.

Подвижный блок (рис. 7.17, б) дает дву-

Для удобства применения подвижный блок часто используют в ком­бинации с неподвижным (рис. 7.17, в).

Аппараты блокового типа применяются в механотерапии при тренировках по облегчению (восстановлению) движений в суста­вах и укреплению мышц.

К простейшим механизмам относится и наклонная плоскость. При описании положения тела в этом случае используют пря­моугольную систему координат, ось ОХ которой направлена параллельно плоскости, а ось ОУ - перпендикулярно ей. На те­ло, расположенное на наклонной плоскости, рис. 7.18, действуют сила тяжести mg , сила реакции опоры - N и сила трения F Про­екции сила тяжести на координатные оси равны mg-sina (скаты­вающая сила) и mgcosa .

При движении вниз по наклонной плоскости скатывающая си­ла помогает движению и способствует значительному увеличению скорости. При заданной длине наклонной плоскости скатывающая сила прямо пропорциональна высоте, рис. 7.19.

Наклонная поверхность часто используется на тренировках при выполнении различных упражнений, рис. 7.20.

Изменение угла наклона и места крепления фиксирующих рем­ней (на уровне крупных суставов ног, поясничного и грудного от­делов позвоночника) позволяет дозировать нагрузку на опорно-дви­гательную, сердечно-сосудистую и вестибулярную системы.

Элементы механики опорно-двигательного аппарата человека

Опорно-двигательный аппарат человека состоит из сочленен­ных между собой костей скелета. Кости скелета действуют как рычаги, которые имеют точку опоры в сочленениях или во внеш­ней среде и приводятся в движение силой тяги, возникающей при сокращении мышц, прикрепленных к костям.

Рычаг первого рода, обеспечивающий перемещение или рав­новесие головы в сагиттальной плоскости.

На рис. 7.22 изображен череп и действующие на него силы.

Ось вращения (О) проходит через сочленение черепа с первым позвонком. На череп действуют две силы, приложенные по раз­ные стороны от оси.

Сила тяжести (/?), приложенная к центру тяжести черепа. Плечо этой силы обозначено буквой Ь.

Сила тяги мышц и связок (F ), приложенная к затылочной кос­ти. Плечо этой силы обозначено буквой а.

Условие равновесия рычага: F - a = Rb . В данном случае а > Ь, следовательно, F < R . Поэтому рычаг дает выигрыш в силе, но про­игрыш в перемещении.

По принципу рычага второго рода работает предплечье чело­века.

На рис. 7.24 изображены предплечье и кисть с грузом, а также действующие на них силы.

Ось вращения (О) находится в локтевом суставе. На рычаг дей­ствуют две силы, приложенные по одну сторону от оси.

Сила тяжести (/?), равная весу груза. Плечо этой силы обоз­начено буквой Ь.

Сила тяги мышц (F ), передаваемая с помощью бицепса. Плечо этой силы обозначено буквой а.

Условие равновесия рычага: F - a = Rb . В данном случае а < Ь, следовательно, F > R . Поэтому рычаг дает проигрыш в силе (при­мерно в 8 раз). Целесообразно ли такое устройство? На первый взгляд, как будто нет, поскольку имеется потеря в силе. Однако согласно «золотому правилу» механики потеря в силе вознагражда­ется выигрышем в перемещении: перемещение кисти в 8 раз больше

Таким образом, способ прикрепления мускулов, который имеет­ся в теле человека (животных), обеспечивает конечностям быст­роту движений, более важную в борьбе за существование, нежели сила. Человек был бы крайне медлительным существом, если бы руки у него не были устроены по этому принципу.

Системы вытяжки костей при переломах

При сращивании сломанных костей необходимо фиксировать поврежденные участки и устранить силы, которые обычно дейст­вуют в месте перелома, до тех пор, пока он не срастется. Для этого используют различные комбинации грузов и блоков.

На рис. 7.25, а показана система вытяжки с использованием двух одинаковых грузов и двух блоков. В этом случае силы натяже­ния 7", и Г 2 равны. Те же условия можно создать и другим способом (рис. 7.25, б), используя один груз и комбинацию из подвижного и неподвижного блоков. В этом случае общая сила, действующая на ногу, равна векторной сумме двух сил натяжения (рис. 7.25, в).

9 = 20° к горизонтали. Остальные углы указаны на рисунке. При этом векторная сумма трех сил натяжения, обозначенная на рис. 7.26, б, F , имеет оптимальное направление.

На рис. 7.26, а показана система вытяжки Рассела, применяе­мая для фиксации сломанного бедра. Эта система получена добав­лением к системе, изображенной на рис. 7.25, еще двух блоков для обеспечения связи с коленом. Бедро устанавливается под углом

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ПО РАЗДЕЛУ «Статика»

Ч асть А

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
А2. На тонкий легкий рычаг действуют силы так, как показано на рисунке. Сила F 1 = 10 Н, сила F 2 = 2,5 Н. Рычаг давит на опору с силой …

1) 12,5 Н 2) 10 Н 3)7,5 Н 4) 2,5 Н
А3. На рисунке изображен тонкий невесомый стержень, к которому приложены силы F 1 = 100 Н и F 2 = 300 Н.

Чтобы стержень находился в равновесии, ось вращения должна проходить через точку …

1) 5 2) 2 3) 6 4) 4

А4. На рисунке изображён рычаг, находящийся в равновесии. Длина рычага 80 см, масса груза 0,2 кг. Сила , приложенная к концу рычага, равна …

1) 0,5 Н 2) 0,67 Н 3) 1,5 Н 4) 2 Н

1) 0,5 м 2) 2 м 3) 10 м 4) 200 м

α
На него действуют 3 силы: сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения . Если брусок покоится, то модуль равнодействующей сил mg и N равен …

1) 2) 3) 4)
А7. На рисунке схематически изображена лестница АС , приложенная к стене. Момент силы реакции опоры , действующей на лестницу, относительно точки А , равен …

В
1) 0 2) N ·ОА 3) N ·АВ 4) N ·ВС

Рычагом называют твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки.

Неподвижную точку называют точкой опоры.

Хорошо знакомый вам пример рычага - качели (рис. 25.1).

Когда двое на качелях уравновешивают друг друга? Начнем с наблюдений. Вы, конечно, замечали, что двое людей на качелях уравновешивают друг друга, если у них примерно одинаковый вес и они находятся примерно на одинаковом расстоянии от точки опоры (рис. 25.1, а).

Рис. 25.1. Условие равновесия качелей: а - люди равного веса уравновешивают друг друга, когда сидят на равных расстояниях от точки опоры; б - люди разного веса уравновешивают друг друга, когда более тяжелый сидит ближе к точке опоры

Если же эти двое сильно отличаются по весу, они уравновешивают друг друга только при условии, что более тяжелый сидит намного ближе к точке опоры (рис. 25.1, б).

Перейдем теперь от наблюдений к опытам: найдем на опыте условия равновесия рычага.

Поставим опыт

Опыт показывает, что грузы равного веса уравновешивают рычаг, если они подвешены на одинаковых расстояниях от точки опоры (рис. 25.2, а).

Если же грузы имеют различный вес, то рычаг находится в равновесии, когда более тяжелый груз находится во столько раз ближе к точке опоры, во сколько раз его вес больше, чем вес легкого груза (рис. 25.2, б, в).

Рис. 25.2. Опыты по нахождению условия равновесия рычага

Условие равновесия рычага. Расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила, называют плечом этой силы. Обозначим F 1 и F 2 силы, действующие на рычаг со стороны грузов (см. схемы в правой части рис. 25.2). Плечи этих сил обозначим соответственно l 1 и l 2 . Наши опыты показали, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к рычагу силы F 1 и F 2 стремятся вращать его в противоположных направлениях, причем модули сил обратно пропорциональны плечам этих сил:

F 1 /F 2 = l 2 /l 1 .

Это условие равновесия рычага было установлено на опыте Архимедом в 3-м веке до н. э.

Условие равновесия рычага вы сможете изучить на опыте в лабораторной работе № 11.

В различных системах отсчета движение одного и того же тела выглядит по-разному и от выбора системы отсчета во многом зави­сит простота или сложность описания движения. Обычно в физике используют инерциальную систему отсчета, существование кото­рой установил Ньютону обобщив опытные данные.

Первый закон Ньютона

Существует система отсчета, относительно которой тело (материальная точка) движется равномерно и прямо­линейно или сохраняет состояние покоя, если на него не дей­ствуют другие тела. Такая система называется инерциальной.

Если тело неподвижно или движется равномерно и прямоли­нейно, то его ускорение равно нулю. Поэтому в инерциальной сис­теме отсчета скорость тела изменяется только под воздействием других тел. Например, футбольный мяч, катящийся по полю, через некоторое время останавливается. В данном случае изменение его скорости обусловлено воздействиями со стороны покрытия поля и воздуха.

Инерциальных систем отсчета существует бесчисленное мно­жество, потому что любая система отсчета, которая движется относительно инерциальной системы равномерно прямолинейно также является инерциальной.

Во многих случаях инерциальной можно считать систему отсчета, связанную с Землей.

4.2. Масса. Сила. Второй закон Ньютона. Сложение сил

В инерциальной системе отсчета причиной изменения скоро­сти тела является воздействие других тел. Поэтому при взаимо­действии двух тел изменяются скорости обоих.

Опыт показывает, что при взаимодействии двух материальных точек их ускорения обладают следующим свойством.

Отношение величин ускорений двух взаимодействующих тел есть величина постоянная, не зависящая от условий взаимодейст­вия.

Например, при столкновении двух тел отношение величин ус­корений не зависит ни от скоростей тел, ни от угла, под которым происходит столкновение.

То тело, которое в процессе взаимодействия приобретает мень­шее ускорение, называется более инертным.

Инертность - свойство тела оказывать сопротивление из­менению скорости его движения (как по величине, так и по на­правлению).

Инертность - неотъемлемое свойство материи. Количественной мерой инертности является специальная физическая величина - масса.

Масса - количественная мера инертности тела.

В быту мы измеряем массу взвешиванием. Однако этот метод не является универсальным. Например, невозможно взвесить

Работа силы может быть как положительной, так и отрицатель­ной. Ее знак определяется величиной угла а. Если этот угол ост­ рый (сила направлена в сторону движения тела), то работа поло­ жительна. При тупом угле а работа отрицательна.

Если при движении точки угол а = 90° (сила направлена пер­пендикулярно вектору скорости), то работа равна нулю.

4.5. Динамика движения материальной точки по окружности. Центростремительная и тангенциальная силы. Плечо и момент силы. Момент инерции. Уравнения вращательного движения точки

В данном случае материальной точкой можно считать тело, раз­меры которого малы по сравнению с радиусом окружности.

В подразделе (3.6) было показано, что ускорение тела, дви­жущегося по окружности, складывается из двух составляющих (см. рис. 3.20): центростремительного ускорения - а я танген­циального ускорения а х, направленных по радиусу и касательной

Центростремительной силой называется проекция равно­действующей силы на тот радиус окружности, на котором в дан­ный момент находится тело.

Тангенциальной силой называется проекция равнодействую­щей силы на касательную к окружности, проведенную в той точке, в которой в данный момент находится тело.

Роль этих сил различна. Тангенциальная сила обеспечивает из­менение величины скорости, а центростремительная сила вызы­вает изменение направления движения. Поэтому для описания вращательного движения записывают второй закон Ньютона для центростремительной силы:

Здесь т - масса материальной точки, а величина центростре­мительного ускорения определяется по формуле (4.9).

В ряде случаев для описания движения по окружности удобнее использовать не центростремительную силу { FJ , а момент силы, действующей на тело. Поясним смысл этой новой физической ве­личины.

Пусть тело вращается вокруг оси (О) под действием силы, ко­торая лежит в плоскости окружности.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (лежащей в плоскости вращения) называется плечом силы (h ).

Пример 1 . Определить опорные реакции балки (рис.1, a ), концы которой шарнирно закреплены. Балка нагружена парой сил с моментом кНм .

Рис.1

Решение . Прежде всего необходимо наметить направление реакций опор (рис. 1, б). Так как к балке приложена пара сил, то и уравновесить ее можно только парой сил. Следовательно, реакции опор равнымежду собой по величине, параллельны, но противоположно направлены. Заменим действие опор их реакциями. Правая опора А - плоскость, следовательно, направление опорной реакции R A перпендикулярно этой плоскости, а опорная реакция R B ей параллельна и противоположно направлена. Балка находится в равновесии, поэтому сумма моментов пар сил,приложенных к ней, равна нулю:

откуда

КН.

Ответ: кН.

Пример 2 . Брус АВ с левой шарнирно-подвижной опорой и правой шарнирно-неподвижной нагружен тремя парами (рис.1), моменты которых кНм , кНм ,кНм . Определить реакции опор.

Рис.1

Решение. 1. На брус действуют пары сил, следовательно, и уравновесить их можно только парой, т. е. в точках А и В со стороны опор на брус должны действовать реакции опор, образующие пару сил. В точке А у бруса шарнирно-подвижная опора, значит, реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. е. в данном случае перпендикулярно брусу. Обозначим эту реакцию R A и направим ее вверх. Тогда в точке В со стороны шарнирно-неподвижной опоры действует также вертикальная сила R B , но вниз.

2. Исходя из выбранного направления сил пары (R A , R B ) ее момент (или ).

3. Составим уравнение равновесия пар сил:

Подставив в этоуравнение значения моментов, получим

Отсюда R A = 5 кН. Так как силы R A и R B образуют пару, то R B = R A = 5 кН.

Ответ : кН.

Пример 3 . Груз весом G = 500 Н подвешен к канату, намотанному на барабан радиусом r = 10 см. Барабан удерживается парой сил, приложенных к концам рукоятки длиной l = 1,25 м, скрепленной с барабаном и лежащей в одной плоскости с веревкой. Определить реакцию оси О барабана и силы пары F , F " , если они перпендикулярны к рукоятке (рис. 1, a ).

Рис.1

Решение . Рассмотрим равновесие сил, приложенных к барабану: вертикальной силы веса G , пары, составленной силами F и F" , и реакции R о цилиндрического шарнира О , величина и линия действия которой неизвестны. Так как пару сил может уравновесить только пара сил, лежащая в той же плоскости, то силы G и R о должны составлять пару сил, уравновешиваемую парой F , F" . Линия действия силы G известна, реакцию R o шарнира О направим параллельно силе G в противоположную ей сторону (рис. 1, б). Модули сил должны быть равны, т. е.

R o = G = 500 H .

Алгебраическая сумма моментов двух пар сил, приложенных к барабану, должна быть равна нулю:

где l - плечо пары F , F" ;

r - плечо пары G , R o .

Находим модули сил F :

Н.

Ответ: Н; Н.

Пример 4 . Балка длиной АВ = 10 м имеет шарнирно-неподвижную опору А и шарнирно-подвижную опору В с наклонной опорной плоскостью, составляющей с горизонтом угол = 30°. На балку действуют три пары сил, лежащие в одной плоскости, абсолютные величины моментов которых:

кНм ; кНм ; кНм .

Определить реакции опор (рис. 1, a ).

Рис.1

Решение . Рассмотрим равновесие сил, приложенных к балке АВ : трех пар сил, реакции опоры R B , направленной перпендикулярно к опорной плоскости, и реакции опоры R A , линия действия которой неизвестна (рис. 1, б). Так как нагрузка состоит только из пар сил, лежащих в одной плоскости, то реакции опор R A и R B должны составить пару сил, лежащую в той же плоскости и уравновешивающую задаваемые пары сил.

Направим реакцию R A параллельно реакции R B , чтобы силы R A и R B составили пару сил, направленную в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 1, б).

Для четырех пар сил, приложенных к балке, используем условие равновесия пар сил, лежащих в одной плоскости:

где

Отсюда

кН.

Знак «плюс» в ответе указывает, что принятое направление реакций опор R A и R B совпадает с истинным:

кН.

Ответ : кН.

Пример 5 . Два диска диаметрами D 1 = 200 мм и D 2 = 100 мм закреплены на валу (рис. 1). Ось вала перпендикулярна их плоскости. Диски вращаются с постоянной угловой скоростью. Силы F 1 и F 2 расположены в плоскости дисков и направлены по касательной к ним. Определить силу F 2 , если F 1 = 500 Н.

Рис.1

Решение. Вал с дисками, согласно условию задачи, вращается с постоянной угловой скоростью, следовательно, вращающие моменты должны быть уравновешены, т. е. Так как ось вала перпендикулярна плоскости действия сил, то

.

(Знак «минус» показывает направление момента против часовой стрелки, если смотреть вдоль оси со стороны ее положительного направления).

отсюда

Н.

При расчете на прочность валов приходится определять моменты внутренних сил в сечениях, перпендикулярных оси вала. Результирующий момент внутренних сил относительно продольной оси вала принято называть крутящим моментом и обозначать отлично от моментов внешних сил, которые принято называть вращающими моментами.

Ответ: Н.

Пример 6 . К прямоугольному параллелепипеду, длина ребер которого а =100 см, b = 120 см, с = 160 см, приложены три взаимно уравновешивающиеся пары сил F 1 , F " 1 , F 2 , F" 2 и F 3 , F" 3 . Силы первой пары имеют модуль F 1 = F" 1 = 4 Н. Определить модули остальных сил (рис.1).

Рис.1

Решение . При равновесии трех пар сил, не лежащих в одной плоскости, геометрическая сумма моментов этих пар должна быть равна нулю, т. е. треугольник их моментов должен быть замкнут:

Строим в точке О момент каждой пары сил, направляя его перпендикулярно к плоскости действия пары так, чтобы, смотря ему навстречу, видеть соответствующую пару сил стремящейся вращать эту плоскость в сторону, обратную вращению часовой стрелки:

Модули моментов:

Нсм ;

Строим замкнутый треугольник моментов пар сил.

Из D ЕОС

Из треугольника моментов

Нсм ;

Нсм .

Модули сил, составляющих пары:

Н;

Н.

Ответ : Н; Н.

Пример 7 . Концы балки шарнирно закреплены в точках А и В (рис. 1, а). К балке приложены пары сил, моменты которых равны кНм ; кНм . Ось балки АВ совпадает с плоскостью действия пары сил. Расстояние между опорами l = 3 м. Определить опорные реакции балки, не учитывая силу тяжести балки.

Рис.1

Решение . Так как к балке приложены 2 пары сил, то уравновесить их можно только парой сил. Значит, реакции опор равны между собой по величине, параллельны, но противоположно направлены. Заменяем действия опор их реакциями (рис. 1 , б). Балка находится в равновесии, поэтому сумма моментов пар сил, противоположных к ней, равна нулю:

кН.

Ответ : кН.

Пример 8 . Вал, на котором закреплены три зубчатых колеса, вращается вокруг неподвижной оси. Силы F 1 , F 2 и F 3 расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и направлены по касательным к окружностям зубчатых колес, как схематически показано на рис. 1. Силы F 2 = 400 H , F 3 = 200 H . Диаметры зубчатых колес = 100 мм, = 200 мм, = 400 мм. Вычислить величину моментов сил F 1 , F 2 и F 3 относительно оси вращения и модуль силы F 1 , приложенной к диску диаметром D 1 .

Рис.1

Решение . Так как ось вала перпендикулярна плоскости действия сил, то:

Нм;

Нм.

(Знак «минус» для момента показывает направление момента по часовой стрелке, если смотреть вдоль оси со стороны её положительного направления).

Вращающие моменты должны быть уравновешены:

тогда

Нм;

Н.

Ответ : Нм, Нм, Н × м, Н.

Пример 9 . Груз G при помощи рычага создает прижимное усилие F на деталь А (рис. 1, a ). Плечи рычага а = 300 мм, b = 900 мм. Определить силу тяжести груза, если прижимное усилие равно 400 Н.

Рис.1

Решение . На расчётной схеме рычага (рис. 1, б) к точке А приложен вес груза G , к точке В – сила реакции шарнира , к точке С приложена сила реакции равная по модулю прижимному усилию F (3-й закон Ньютона).

Составим уравнение равновесия рычага относительно точки В :

при этом момент силы относительно точки В равен 0.

Ответ : Н.

Пример 10 . Определить прижимное усилие F на деталь А (рис. 1, a ), создаваемое при помощи рычага и груза G = 300 H . Отношение плеч рычага b / a = 3.

Рис.1

Решение. Будем рассматривать равновесие рычага. Для этого действие опор заменим их реакциями (рис. 1, б).

Прижимное усилие F на деталь А по модулю равно силе реакции (это следует из 3-го закона Ньютона).

Запишем условие равновесия рычага относительно точки В :

Ответ : Н.

Пример 11. Три диска жестко закреплены на валу (рис. 1, а). Ведущий диск 1 передает момент Нм. Момент, приложенный к ведомому диску 2, Нм. Диаметры дисков D 1 = 0,2 м, D 2 = 0,4 м, D 3 = 0,6 м. Определить величину и направление момента на диске 3 при условии, что вал вращается равномерно. Вычислить также окружные силы F 1 , F 2 и F 3 , приложенные к соответствующим дискам. Эти силы направлены по касательным к окружности диска и расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вала.

Рис.1

Решение . Вал с дисками, согласно условию задачи, вращается равномерно, следовательно, вращающие моменты должны быть уравновешены (рис. 1, б):

, Нм.

Определим окружные силы F 1 , F 2 , F 3 :

, , Н, кН;

, , Н, кН;

, , Н, Н.

Ответ: Н × м, Н, Н, Н.

Пример 12 . К стержню, опирающемуся в точках А и В (рис. 1, а), приложены две пары сил, моменты которых кНм и кНм . Расстояние а = 0,4 м. Определить реакции упоров А и В , не учитывая силы тяжести стержня. Плоскость действия пар сил совпадает с осью стержня.

Рис.1

Решение . Так как к стержню приложены только пары сил, то уравновесить их можно только парой сил. Значит, реакции опор равны между собой по величине, но противоположно направлены (рис. 1, б).

Стержень находится в равновесии, поэтому

, ,

кН,

знак «минус» указывает на направление момента пар сил и .

Ответ : кН, кН.

Пример 13 . На рычаг в точке С действует сила F = 250 H (рис. 1, a ). Определить силу, приложенную к тормозным дискам в точке А , если длина рычага CB = 900 мм, расстояние CD = 600 мм.

Рис.1

Решение. Заменим действия опор на рычаг их реакциями (рис. 1, б). Уравнение равновесия рычага:

;

Н.

Сила, приложенная к тормозным дискам в точке А , равна по модулю (по третьему закону Ньютона).

Ответ: Н.

Пример 14 . Колодочный тормоз удерживает в покое вал, к которому приложена пара сил с моментом Нм. Диаметр тормозного диска D = 400 мм (рис. 1 , а). Определить, с какой силой надо прижимать колодки к тормозному диску, чтобы вал оставался в покое. Коэффициент трения покоя между тормозным диском и колодками принять f = 0,15.

Рис.1

Решение . Чтобы вал оставался в покое, необходимо равенство моментов М и (рис. 1, б):

где - момент, создаваемый парой сил трения.

Силу трения определим, зная коэффициент трения f покоя между тормозным диском и колодками:

Тогда

Н.

Ответ : кН.

Пример 15 . На валу жестко закреплены два диска диаметрами D 1 = 220 мм и D 2 = 340 мм (рис. 1, a ). К первому диску приложена сила F 1 = 500 Н. Линия действия силы расположена в плоскости, перпендикулярной оси вала. Определить величину и направление силы, которую надо приложить ко второму диску, чтобы вал вращался равномерно. Вычислить вращающие моменты на каждом диске.

Рис.1

Решение . Вращающие моменты на дисках:

(Знак «минус» для момента показывает направление момента против часовой стрелки, если смотреть вдоль оси со стороны её положительного направления).

Так как вал вращается равномерно, то вращающие моменты должны быть уравновешены (рис. 1, б):

Н× м,Н× м,

, , Н.

Направление силы противоположно направлению силы

Ответ: Н× м,Н× м, Н.

Пример 16. Груз кН, поднятый с помощью троса, намотанного на барабан диаметром м , удерживается в покое храповым механизмом, состоящим из зубчатого колеса с расчётным диаметром м и упорного рычага (рис. 1, а). Весом частей механизма, а также трением пренебречь. Определить силу, нагружающую упорный рычаг.

Рис.1

Решение. Будем рассматривать равновесие блока. На него наложена внешняя связь – упорный рычаг. Заменим её реакцией . В данной задаче одна неизвестная , которая по третьему закону Ньютона равна реакции (рис. 1, б).

,

откуда имеем:

, кН.

кН.

Ответ: кН.

Пример 17. Сила, приложенная человеком к концу рукоятки ручного рычажного пресса, равна F = 120 H . Приняв АС = 220 мм и АВ = 40 мм , определить силу давления поршня на прессуемый материал (рис. 1, а). Крепление в точках А и В шарнирное. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

Рис.1

Решение . Сила давления поршня равна силе реакции , действующей со стороны поршня на рукоятку (рис. 1, б). Составим уравнение моментов сил для рукоятки:

. Н.

Ответ: Н.

Пример 18. В лентопротяжном механизме прибора лента держится в натянутом состоянии с помощью двуплечего рычага АВС (рис. 1, a ) . На одном конце рычага расположен нажимной ролик, другой конец оттянут пружинной лентой с силой упругости 4 Н . Определить силу давления ролика на ленту, считая, что общая нормаль в точке их касания расположена вертикально. Принять АВ = 50 мм и ВС = 10 мм . Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

Рис.1

Решение . На рычаг АВС наложены внешние связи. Освободимся от них, заменяя их действие силами реакции (рис.1, б). В данной задаче одна неизвестная – сила давления ролика на ленту , которая равна силе реакции

Составим уравнение моментов сил:

Откуда имеем:

Н.

Ответ: Н.

Пример 19. Груз весом 950 Н равномерно поднимается при помощи ворота, состоящего из барабана диаметром 0,14 м и рукоятки с плечом 0,4 м (рис. 1). Для данного положения механизма определить силу F , прикладываемую рабочим, считая ее направленной вертикально. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

Рис.1

Решение . В данной задаче одна неизвестная – сила (рис. 1, б). Для её нахождения напишем уравнение моментов сил:

, , .

Н.

Ответ: Н.

Пример 20. Для перевода однородной колонны АВ из горизонтального положения в вертикальное один ее конец зацепили тросом подъемного крана, а к другому концу приставили упор (рис. 1, а). Определить силу натяжения троса в момент начала подъема колонны, если ее вес 3 кН и длина 4 м .

Рис.1

Решение . Для нахождения силы натяжения троса составим уравнение моментов сил (рис. 1, б):

;

КН.

Ответ : кН.