Взаимное расположение мнимых точек и прямых. Кривые второго порядка. Классификация кривых второго порядка Как выглядит пара мнимых пересекающихся прямых
Чтобы пояснить это на конкретном примере, покажу вам, что соответствует в этой интерпретации следующему утверждению: (действительная или мнимая) точка Р лежит на (действительной или мнимой) прямой g. При этом, конечно, приходится различать такие случаи:
1) действительная точка и действительная прямая,
2) действительная точка и мнимая прямая,
Случай 1) не требует от нас особых разъяснений; здесь перед нами одно из основных соотношений обычной геометрии.
В случае 2) через заданную действительную точку обязательно должна проходить наряду с заданной мнимой прямой также и комплексно сопряженная с нею прямая; следовательно, эта точка должна совпадать с вершиной того пучка лучей, которым мы пользуемся для изображения мнимой прямой.
Подобно этому в случае 3) действительная прямая должна быть тождественна с носителем той прямолинейной инволюции точек, которая служит представителем заданной мнимой точки.
Наиболее интересным является случай 4) (рис. 96): здесь, очевидно, комплексно сопряженная точка должна также лежать на комплексно сопряженной прямой, а отсюда следует, что каждая пара точек инволюции точек, изображающей точку Р, должна находиться на некоторой паре прямых инволюции прямых, изображающей прямую g, т. е. что обе эти инволюции должны быть расположены перспективно одна относительно другой; кроме того, оказывается, что и стрелки обеих инволюций также расположены перспективно.
Вообще, в аналитической геометрии плоскости, уделяющей внимание также и комплексной области, мы получим полную действительную картину этой плоскости, если к совокупности всех ее действительных точек и прямых присоединим в качестве новых элементов совокупность рассмотренных выше инволюционных фигур вместе со стрелками их направлений. Здесь будет достаточно, если я намечу в общих очертаниях, какой вид приняло бы при этом построение такой действительной картины комплексной геометрии. При этом я буду следовать тому порядку, в котором теперь обычно излагают первые предложения элементарной геометрии.
1) Начинают с аксиом существования, назначение которых - дать точную формулировку наличия только что упомянутых элементов в расширенной по сравнению с обычной геометрией области.
2) Затем аксиомы соединения, которые утверждают, что также и в определенной в п. 1) расширенной области! через (каждые) две точки проходит одна и только одна прямая и что (всякие) две прямые имеют одну и только одну общую точку.
При этом подобно тому, что мы имели выше, приходится каждый раз различать четыре случая в зависимости от того, являются ли действительными заданные элементы, и представляется очень интересным точно продумать, какие именно действительные построения с инволюциями точек и прямых служат изображением этих комплексных соотношений.
3) Что же касается аксиом расположения (порядка), то здесь по сравнению с действительными соотношениями выступают на сцену совершенно новые обстоятельства; в частности, все действительные и комплексные точки, лежащие на одной фиксированной прямой, а также все лучи, проходящие через одну фиксированную точку, образуют двумерный континуум. Ведь каждый из нас вынес из изучения теории функций привычку изображать совокупность значений комплексной переменной всеми точками плоскости.
4) Наконец, что касается аксиом непрерывности, то я укажу здесь только, как изображаются комплексные точки, лежащие как угодно близко к какой-нибудь действительной точке. Для этого через взятую действительную точку Р (или через какую-нибудь другую близкую к ней действительную точку) нужно провести какую-нибудь прямую и рассмотреть на ней такие две разделяющие одна другую (т. е. лежащие «скрещенным образом») пары точек (рис. 97), чтобы две точки взятые из разных пар, лежали близко одна к другой и к точке Р; если теперь неограниченно сближать точки то инволюция, определяемая названными парами точек, вырождается, т. е. обе ее до сих пор комплексные двойные точки совпадают с точкой Каждая из обеих мнимых точек, изображаемых этой инволюцией (вместе с той или другой стрелкой), переходит, следовательно, непрерывно в некоторую точку, близкую к точке Р, или даже непосредственно в точку Р. Конечно, для того чтобы быть в состоянии с пользой применять эти представления о непрерывности, необходимо детально с ними поработать.
Хотя все это построение и является по сравнению с обычной действительной геометрией достаточно громоздким и утомительным, но зато оно может дать несравненно больше. В частности, оно способно поднять на уровень полной геометрической наглядности алгебраические образы, понимаемые как совокупности их действительных и комплексных элементов, и при его помощи можно наглядно уяснить себе на самих фигурах такие теоремы, как основная теорема алгебры или теорема Безу о том, что две кривые порядков имеют, вообще говоря, ровно общих точек. Для этой цели следовало бы, конечно, осмыслить основные положения в значительно более точной и наглядной форме, чем это было сделано до сих пор; впрочем, в литературе уже имеется весь существенно необходимый для таких исследований материал.
Но в большинстве случаев применение этого геометрического толкования привело бы все же при всех его теоретических преимуществах к таким усложнениям, что приходится довольствоваться его принципиальной возможностью и возвращаться фактически к более наивной точке зрения, заключающейся в следующем: комплексная точка есть совокупность трех комплексных координат, и с нею можно оперировать точно так же, как и с действительными точками. В самом деле, такое введение мнимых элементов, воздерживающееся от каких бы то ни было принципиальных рассуждений, всегда оказывалось плодотворным в тех случаях, когда нам приходилось иметь дело с мнимыми циклическими точками или с окружностью сфер. Как уже было сказано, впервые стал пользоваться мнимыми элементами в этом смысле Понселе; его последователями в этом отношении были другие французские геометры, главным образом Шаль и Дарбу; в Германии ряд геометров, в особенности Ли, также применяли с большим успехом такое понимание мнимых элементов.
Этим отступлением в область мнимого я заканчиваю весь второй отдел моего курса и обращаюсь к новой главе,
8.3.15. Точка А лежит на прямой . Расстояние от точки А до плоскости
8.3.16. Составьте уравнение прямой, симметричной прямой
относительно плоскости .
8.3.17. Составьте уравнения проекций на плоскость следующих прямых:
а) ;
б)
в) .
8.3.18. Найдите угол между плоскостью и прямой:
а) ;
б) .
8.3.19. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости, проходящей через прямые:
и
8.3.20. Точка А лежит на прямой
Расстояние от точки А до прямой равно . Найдите координаты точки А.
§ 8.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени
в котором .
Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (8.4.1), называется кривой (линией ) второго порядка .
Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов:
1) (эллипс);
2) (мнимый эллипс);
3) (пара мнимых пересекающихся прямых);
4) (гипербола);
5) (пара пересекающихся прямых);
6) (парабола);
7) (пара параллельных прямых);
8) (пара мнимых параллельных прямых);
9) (пара совпадающих прямых).
Уравнения 1) – 9) называются каноническими уравнениями кривых второго порядка.
Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Переход от исходной прямоугольной системы координат к канонической осуществляется путем поворота осей исходной системы координат вокруг точки О на некоторый угол j и последующего параллельного переноса системы координат.
Инвариантами кривой второго порядка (8.4.1) называются такие функции от коэффициентов ее уравнения, значения которых не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой такой же системе.
Для кривой второго порядка (8.4.1) сумма коэффициентов при квадратах координат
,
определитель, составленный из коэффициентов при старших членах
и определитель третьего порядка
являются инвариантами.
Значение инвариантов s, d, D можно использовать для определения типа и составления канонического уравнения кривой второго порядка.
Таблица 8.1.
Классификация кривых второго порядка, основанная на инвариантах
Кривая эллиптического типа |
sD<0. Эллипс |
|
sD>0. Мнимый эллипс |
||
Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке |
||
Кривая гиперболического типа |
Гипербола |
|
Пара пересекающихся прямых |
||
Кривая параболического типа |
Парабола |
|
Пара параллельных прямых (различных, мнимых или совпадающих) |
Рассмотрим подробнее эллипс, гиперболу и параболу.
Эллипсом (рис. 8.1) называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а, половину расстояний между фокусами – с. Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси Оx симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением
, (8.4.2)
называемым каноническим уравнением эллипса , где .
Рис. 8.1
При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центрего симметрии – центром эллипса . Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2a и 2b, а числа a и b – большой и малой полуосью соответственно.
Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса . Вершины эллипса имеет координаты (а,0), (–а,0), (0,b), (0,–b).
Эксцентриситетом эллипса называется число